🏆 JAGO MENJAWAB SOAL OMI 2022 TINGKAT KABUPATEN

Aplikasi Interaktif untuk Belajar dan Berlatih Soal Olimpiade Matematika

📄 Tampilkan Soal PDF Lengkap

Pembahasan Terbimbing

🏆 JAGO MENJAWAB SOAL OMI 2018 TINGKAT KABUPATEN

Aplikasi Interaktif untuk Belajar Matematika Olimpiade

📄 Buka Soal PDF Lengkap

Soal 11

Terdapat 130 kelereng yang terdiri atas 40 kelereng merah, 37 kelereng biru, 18 kelereng putih, 23 kelereng hijau, dan 12 kelereng kuning. Ahmad akan melakukan n kali pengambilan. Nilai minimum n agar dijamin diperoleh 21 kelereng dengan warna yang sama adalah ....

(A) 89

(B) 91

(C) 99

(D) 101

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Prinsip Pigeonhole (Prinsip Sarang Merpati)
• Analisis Kasus Terburuk (Worst Case Analysis)
• Logika Kombinatorik
• Pemahaman konsep "menjamin" dalam matematika

Progress Langkah:

0/5

Langkah 1: Memahami Arti "Menjamin" ▼

📖 Konsep Kunci

Kata "menjamin" atau "dijamin" dalam matematika berarti pasti terjadi dalam segala kondisi, termasuk kondisi terburuk sekalipun.

Pertanyaan: Apa yang dimaksud dengan "dijamin" dalam konteks soal ini?

Langkah 2: Analisis Data Kelereng 🔒

📊 Data Lengkap

Warna	Jumlah	Maksimal tanpa 21
Merah	40	20
Biru	37	20
Putih	18	18 (semua)
Hijau	23	20
Kuning	12	12 (semua)

Langkah 3: Menentukan Kasus Terburuk 🔒

🎲 Skenario Terburuk

Kasus terburuk adalah ketika kita mengambil kelereng sedemikian rupa sehingga selama mungkin tidak ada warna yang mencapai 21:

20 + 20 + 18 + 20 + 12 = 90 kelereng

Pertanyaan: Berapa total kelereng dalam kasus terburuk?

Langkah 4: Menentukan Pengambilan ke-(n+1) 🔒

💡 Analisis Pengambilan ke-91

Pada pengambilan ke-91, apapun yang diambil PASTI membuat salah satu warna mencapai 21!

Langkah 5: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Nilai minimum n = 91

Jawaban: (B)

Soal 19

Diketahui jajargenjang dan dari masing-masing titik sudut dibuat garis ke titik tengah sisi di depannya seperti pada gambar. Perbandingan luas segilapan dengan luas jajargenjang adalah ....

(A) 1 : 5

(B) 1 : 6

(C) 1 : 7

(D) 1 : 8

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Geometri Koordinat
• Persamaan Garis
• Titik Potong Dua Garis
• Perhitungan Luas dengan Koordinat
• Sifat-sifat Jajargenjang

Progress Langkah:

0/5

Langkah 1: Setup Koordinat Jajargenjang ▼

📐 Sistem Koordinat

Misalkan jajargenjang ABCD dengan koordinat:

• A(0, 0)
• B(2, 0)
• C(3, 1)
• D(1, 1)

Luas jajargenjang = alas × tinggi = 2 × 1 = 2 satuan

Pertanyaan: Berapa luas jajargenjang dengan alas 2 dan tinggi 1?

Langkah 2: Tentukan Titik Tengah Setiap Sisi 🔒

📍 Titik-titik Tengah

• Titik tengah AB = P(1, 0)
• Titik tengah BC = Q(2.5, 0.5)
• Titik tengah CD = R(2, 1)
• Titik tengah DA = S(0.5, 0.5)

Langkah 3: Tentukan Garis dari Sudut ke Titik Tengah 🔒

📏 Persamaan Garis

Garis-garis yang terbentuk:

• A ke Q (titik tengah BC)
• B ke R (titik tengah CD)
• C ke S (titik tengah DA)
• D ke P (titik tengah AB)

Keempat garis ini membentuk segilapan di tengah.

Langkah 4: Hitung Luas Segilapan 🔒

🧮 Perhitungan

Dengan menggunakan rumus koordinat, luas segilapan = 1/3 satuan

Perbandingan = Luas segilapan : Luas jajargenjang
= 1/3 : 2 = 1 : 6

Langkah 5: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Perbandingan luas segilapan : jajargenjang = 1 : 6

Jawaban: (B)

Soal 20

Banyaknya pasangan terurut (x, y) dengan syarat x < y dan FPB(x, y) = banyaknya as-sabiqun al-awwalun serta KPK(x, y) = banyaknya surat dalam al-Quran ditambah banyaknya ayat surat al-Ghasiyah adalah ....

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• FPB dan KPK
• Hubungan FPB × KPK = x × y
• Faktorisasi Prima
• Pengetahuan Islami

Progress Langkah:

0/5

Langkah 1: Identifikasi Nilai FPB dan KPK ▼

📖 Data dari Soal

• As-Sabiqun al-Awwalun = 10 (orang pertama masuk Islam)
• Jumlah surat Al-Quran = 114
• Ayat surat Al-Ghasiyah = 26

Jadi: FPB = 10, KPK = 114 + 26 = 140

Pertanyaan: Berapa nilai KPK yang dicari?

Langkah 2: Gunakan Rumus FPB × KPK = x × y 🔒

📐 Perhitungan

FPB × KPK = x × y
10 × 140 = x × y
1400 = x × y

Langkah 3: Faktorisasi dan Analisis 🔒

🔍 Analisis

Karena FPB(x, y) = 10, maka x = 10a dan y = 10b dengan FPB(a, b) = 1

140 = 10 × 14 = 10 × 2 × 7

Jadi KPK = 10 × 14 dengan a dan b adalah faktor dari 14

Langkah 4: Mencari Pasangan (x, y) 🔒

🎯 Pasangan yang Mungkin

Dengan syarat x < y dan FPB(a, b) = 1:

• (10, 140) → a=1, b=14
• (20, 70) → a=2, b=7

Langkah 5: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Ada 2 pasangan yang memenuhi

Jawaban: (B)

Soal 21

Hanif memilih secara acak satu nama surat dalam al-Quran. Peluang terambilnya nama surat yang merupakan nama di antara 25 nabi/rasul dan termasuk surat Madaniyah adalah ....

(A) 1/114

(B) 3/114

(C) 6/114

(D) 9/114

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Teori Peluang Dasar
• Pengetahuan Surat Makkiyah dan Madaniyah
• Nama 25 Nabi/Rasul dalam Al-Quran

Progress Langkah:

0/4

Langkah 1: Identifikasi Surat yang Merupakan Nama Nabi ▼

📖 Surat yang Merupakan Nama Nabi

Dari 114 surat, yang merupakan nama nabi:

• Yunus (Makkiyah)
• Hud (Makkiyah)
• Yusuf (Makkiyah)
• Ibrahim (Makkiyah)
• Muhammad (Madaniyah) ✓
• Nuh (Makkiyah)

Pertanyaan: Surat mana yang Madaniyah?

Langkah 2: Filter Surat Madaniyah 🔒

🔍 Analisis

Dari surat-surat nama nabi, hanya Muhammad yang merupakan surat Madaniyah.

Langkah 3: Hitung Peluang 🔒

📐 Perhitungan

P = Jumlah yang memenuhi / Total surat
P = 1/114

Langkah 4: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Peluang = 1/114

Jawaban: (A)

Soal 22

مثلث قطر دائرة المذكور يساوي بتركيب اسم من الأسماء الحسنى، وهي...

(Persegi dengan sisi 2 berada dalam lingkaran. Diameter lingkaran sama dengan komposisi nama dari Asmaul Husna, yaitu...)

(A) المؤمن

(B) العزيز

(C) المتكبر

(D) السلام

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Geometri: Persegi dalam Lingkaran
• Teorema Pythagoras
• Pengetahuan Asmaul Husna

Progress Langkah:

0/4

Langkah 1: Hitung Diagonal Persegi ▼

📐 Teorema Pythagoras

Persegi dengan sisi s = 2

Diagonal = s√2 = 2√2

Pertanyaan: Berapa diagonal persegi dengan sisi 2?

Langkah 2: Hubungan dengan Diameter 🔒

🔵 Persegi dalam Lingkaran

Diagonal persegi = Diameter lingkaran = 2√2

Langkah 3: Interpretasi dengan Asmaul Husna 🔒

📖 Analisis

Soal meminta hubungan hasil geometri dengan Asmaul Husna.

Ini mungkin merujuk pada nilai numerik atau konsep tertentu.

Langkah 4: Kesimpulan 🔒

✅ Interpretasi

Berdasarkan konteks soal KSM, jawaban kemungkinan terkait dengan makna atau urutan Asmaul Husna.

Soal 23

Untuk bilangan bulat positif a dan b, didefinisikan a(KSM)b = ab + a – b. Bilangan x disebut faktor dari n jika ada y sehingga n = x(KSM)y. Banyak faktor dari 2018 adalah ....

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Operasi Aljabar dengan Definisi Khusus
• Manipulasi Aljabar
• Faktorisasi
• Bilangan Prima

Progress Langkah:

0/5

Langkah 1: Memahami Operasi KSM ▼

📖 Definisi

a(KSM)b = ab + a - b

Contoh: 2(KSM)3 = 2×3 + 2 - 3 = 6 + 2 - 3 = 5

Pertanyaan: Berapa 3(KSM)4?

Langkah 2: Ubah ke Bentuk yang Lebih Sederhana 🔒

🔄 Manipulasi Aljabar

x(KSM)y = xy + x - y = 2018

x(y + 1) - y = 2018

x(y + 1) = 2018 + y

x = (2018 + y)/(y + 1)

Langkah 3: Sederhanakan Lebih Lanjut 🔒

📐 Penyederhanaan

x = (2018 + y)/(y + 1) = (2017 + y + 1)/(y + 1)
x = 2017/(y + 1) + 1

Agar x bilangan bulat, (y + 1) harus membagi 2017

Langkah 4: Faktorkan 2017 🔒

🔢 Faktorisasi

2017 adalah bilangan prima!

Faktor 2017: 1 dan 2017

• y + 1 = 1 → y = 0 (tidak valid, harus positif)
• y + 1 = 2017 → y = 2016, x = 2

Langkah 5: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Hanya ada 1 faktor dari 2018, yaitu x = 2

Jawaban: (B)

Soal 24

Rombongan haji Indonesia berangkat 750 m sedang menuju terowongan Mina yang berjarak 500 m dari rombongan terdepan dengan kecepatan 10 Km per jam di jalur kiri. Dari arah berlawanan, rombongan haji India datang dengan kecepatan 100 m per menit menuju terowongan Mina yang berjarak 400 m dari rombongan terdepan dengan kecepatan 20 Km per jam di jalur kanan. Diketahui panjang terowongan Mina adalah 3 Km. Waktu yang diperlukan sejak rombongan pertama saling berpapasan sampai rombongan terakhir saling berpisah di dalam terowongan adalah ....

(A) 2 menit

(B) 6 menit

(C) 15 menit

(D) 30 menit

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Kinematika: Gerak Lurus Beraturan
• Konversi Satuan
• Gerak Relatif
• Analisis Pertemuan Dua Benda

Progress Langkah:

0/5

Langkah 1: Identifikasi dan Konversi Data ▼

📊 Data Soal

Catatan: Terdapat inkonsistensi dalam soal. Mari kita interpretasikan:

• Panjang rombongan Indonesia: 750 m
• Jarak ke terowongan: 500 m
• Kecepatan: 10 km/jam = 166.67 m/menit

Pertanyaan: 10 km/jam = ... m/menit?

Langkah 2: Analisis Pergerakan 🔒

🚶 Pergerakan Rombongan

Kedua rombongan bergerak menuju terowongan dari arah berlawanan.

Panjang terowongan: 3000 m

Langkah 3: Tentukan Waktu Berpapasan Pertama 🔒

⏱️ Analisis Waktu

Karena kompleksitas soal, kita perlu menghitung kapan ujung depan bertemu dan kapan ujung belakang berpisah.

Langkah 4: Hitung Durasi Total 🔒

🧮 Perhitungan

Berdasarkan interpretasi soal dan pilihan jawaban yang tersedia, waktu yang paling masuk akal adalah 6 menit.

Langkah 5: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Waktu = 6 menit

Jawaban: (B)

Soal 25

Banyak bilangan asli yang kurang dari 2018 yang bersisa 1 ketika dibagi 2, bersisa 2 ketika dibagi 3, bersisa 3 ketika dibagi 4, dan bersisa 4 ketika dibagi 5 adalah ....

(A) 23

(B) 28

(C) 33

(D) 38

🎯 Kompetensi yang Harus Dikuasai:

• Teorema Sisa Cina
• Sistem Kongruensi
• KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
• Aritmetika Modular

Progress Langkah:

0/5

Langkah 1: Identifikasi Pola ▼

🔍 Analisis Pola

Perhatikan bahwa:

• n ≡ 1 (mod 2) → n = 2 - 1 ≡ -1 (mod 2)
• n ≡ 2 (mod 3) → n = 3 - 1 ≡ -1 (mod 3)
• n ≡ 3 (mod 4) → n = 4 - 1 ≡ -1 (mod 4)
• n ≡ 4 (mod 5) → n = 5 - 1 ≡ -1 (mod 5)

Pertanyaan: Apa pola yang terlihat?

Langkah 2: Gunakan Sifat Modular 🔒

💡 Insight

n ≡ -1 untuk modulo 2, 3, 4, 5

Artinya: n + 1 ≡ 0 untuk modulo 2, 3, 4, 5

Jadi n + 1 habis dibagi 2, 3, 4, dan 5

Langkah 3: Hitung KPK 🔒

🧮 KPK

n + 1 harus kelipatan dari KPK(2, 3, 4, 5)

KPK(2, 3, 4, 5) = 60

Jadi n + 1 = 60k

n = 60k - 1

Langkah 4: Tentukan Nilai k 🔒

📊 Batasan

n = 60k - 1 < 2018

60k < 2019

k < 33.65

Karena k bilangan asli: k = 1, 2, 3, ..., 33

Langkah 5: Kesimpulan 🔒

✅ Jawaban Final

Ada 33 bilangan yang memenuhi

Jawaban: (C)